有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計(jì)算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場(chǎng)中（這類場(chǎng)與泛函的極值問(wèn)題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來(lái)，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場(chǎng)中，而不再要求這類物理場(chǎng)和泛函的極值問(wèn)題有所聯(lián)系。基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問(wèn)題。
原理
　　將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來(lái)表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。
運(yùn)用步驟
　　步驟1：剖分:
　　將待解區(qū)域進(jìn)行分割，離散成有限個(gè)元素的集合．元素（單元）的形狀原則上是任意的．二維問(wèn)題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等．每個(gè)單元的頂點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）．
　　步驟2：?jiǎn)卧治?
　　進(jìn)行分片插值，即將分割單元中任意點(diǎn)的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值展開(kāi)，即建立一個(gè)線性插值函數(shù)
　　步驟3：求解近似變分方程
　　用有限個(gè)單元將連續(xù)體離散化，通過(guò)對(duì)有限個(gè)單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問(wèn)題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個(gè)單元：桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個(gè)桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個(gè)單元的場(chǎng)函數(shù)是只包含有限個(gè)待定節(jié)點(diǎn)參量的簡(jiǎn)單場(chǎng)函數(shù)，這些單元場(chǎng)函數(shù)的集合就能近似代表整個(gè)連續(xù)體的場(chǎng)函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)殘量方程可建立有限個(gè)待定參量的代數(shù)方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。有限元法已被用于求解線性和非線性問(wèn)題，并建立了各種有限元模型，如協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)、混合、雜交、擬協(xié)調(diào)元等。有限元法十分有效、通用性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛，已有許多大型或?qū)Ｓ贸绦蛳到y(tǒng)供工程設(shè)計(jì)使用。結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)，有限元法也被用于計(jì)算機(jī)輔助制造中。
　　有限單元法最早可上溯到20世紀(jì)40年代。Courant第一次應(yīng)用定義在三角區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理來(lái)求解St.Venant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。現(xiàn)代有限單元法的第一個(gè)成功的嘗試是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)，將鋼架位移法推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問(wèn)題，給出了用三角形單元求得平面應(yīng)力問(wèn)題的正確答案。1960年，Clough進(jìn)一步處理了平面彈性問(wèn)題，并第一次提出了"有限單元法"，使人們認(rèn)識(shí)到它的功效。
　　50年代末60年代初，中國(guó)的計(jì)算數(shù)學(xué)剛起步不久，在對(duì)外隔絕的情況下，馮康帶領(lǐng)一個(gè)小組的科技人員走出了從實(shí)踐到理論，再?gòu)睦碚摰綄?shí)踐的發(fā)展中國(guó)計(jì)算數(shù)學(xué)的成功之路。當(dāng)時(shí)的研究解決了大量的有關(guān)工程設(shè)計(jì)應(yīng)力分析的大型橢圓方程計(jì)算問(wèn)題，積累了豐富而有效的經(jīng)驗(yàn)。馮康對(duì)此加以總結(jié)提高，作出了系統(tǒng)的理論結(jié)果。1965年馮康在《應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)》上發(fā)表的論文《基于變分原理的差分格式》，是中國(guó)獨(dú)立于西方系統(tǒng)地創(chuàng)始了有限元法的標(biāo)志。
派生
　　從有限元的基本方法派生出來(lái)的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊界元法、雜交元法、非協(xié)調(diào)元法和擬協(xié)調(diào)元法等，用以解決特殊的問(wèn)題。