簡介
　　邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數(shù)值分析方法 。 又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數(shù)方程組求解。它與基于偏微分方程的區(qū)域解法相比，由于降低了問題的維數(shù)，而顯著降低了自由度數(shù)，邊界的離散也比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準(zhǔn)確地模擬邊界形狀，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組。又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數(shù) ，而具有解析與數(shù)值相結(jié)合的特點(diǎn)，通常具有較高的精度。特別是對于邊界變量變化梯度較大的問題 ，如應(yīng)力集中問題 ，或邊界變量出現(xiàn)奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認(rèn)為比有限元法更加精確高效。由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動(dòng)滿足無限遠(yuǎn)處的條件，因而邊界元法特別便于處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點(diǎn)是它的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質(zhì)等問題難以應(yīng)用，故其適用范圍遠(yuǎn)不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣，對解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。對一般的非線性問題，由于在方程中會出現(xiàn)域內(nèi)積分項(xiàng)，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優(yōu)點(diǎn)。
　　基礎(chǔ)
　　邊界元法是基于控制微分方程的基本解來建立相應(yīng)的邊界積分方程，再結(jié)合邊界的剖分而得到的離散算式。
　　Jaswon和Symm于1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo[3]于1967年用直接邊界元法求解了二維線彈性問題；Cruse[4]于1969年將此法推廣到三維彈性力學(xué)問題。1978年，Brebbia用加權(quán)余量法推導(dǎo)出了邊界積分方程，他指出加權(quán)余量法是最普遍的數(shù)值方法，如果以Kelvin解作為加權(quán)函數(shù)，從加權(quán)余量法中導(dǎo)出的將是邊界積分方程——邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理論體系，標(biāo)志著邊界元法進(jìn)入系統(tǒng)性研究時(shí)期。
　　發(fā)展經(jīng)過近40年的研究和發(fā)展，邊界元法已經(jīng)成為一種精確高效的工程數(shù)值分析方法。在數(shù)學(xué)方面，不僅在一定程度上克服了由于積分奇異性造成的困難，同時(shí)又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進(jìn)行了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎(chǔ)。在方法與應(yīng)用方面，現(xiàn)在，邊界元法已應(yīng)用到工程和科學(xué)的很多領(lǐng)域，對線性問題，邊界元法的應(yīng)用已經(jīng)規(guī)范化；對非線性問題，其方法亦趨于成熟。在軟件應(yīng)用方面，邊界元法應(yīng)用軟件已由原來的解決單一問題的計(jì)算程序向具有前后處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程序包發(fā)展。
　　我國約在1978年開始進(jìn)行邊界元法的研究，目前，我國的學(xué)者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，并且發(fā)展了相應(yīng)的計(jì)算軟件，有些已經(jīng)應(yīng)用于工程實(shí)際問題，并收到了良好的效果。